Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

गणित सोमवार: लिंकेज, भाग 8: सीधेपन की खोज में

गणित के संग्रहालय के लिए

मठ सोमवार को अपने बहु-सप्ताह के साहसिक संबंधों की अद्भुत दुनिया में जारी है। MoMath लिंकेज किट, एक परिचय और सामान्य निर्देशों के लिए लिंकेज श्रृंखला परिचय देखें।

इस श्रृंखला के दूसरे कॉलम में, हमने अविश्वसनीय जटिलता देखी जो कि एक साधारण चार-बार लिंकेज बना सकती है: यह, सामान्य तौर पर, x और y में छठे डिग्री के बहुपद द्वारा वर्णित पथ को आकर्षित करेगा। लेकिन सरल कार्यों के बारे में क्या, शायद बहुत सरल? क्या लिंकेज x और y में एक रेखीय पथ बना सकता है? यह बड़े पैमाने पर लचीलापन को देखते हुए तर्क के लिए खड़ा होगा। और यह सवाल, केवल एक अकादमिक होने से, जबरदस्त व्यावहारिक महत्व का था - जेम्स वाट के अलावा और कोई नहीं। जैसा कि आप याद कर सकते हैं, वह भाप इंजन बनाने के प्रयास में लगा हुआ था। और किसी भी भाप इंजन का एक प्रमुख घटक पिस्टन है। और भाप के विस्तार की ऊर्जा का उत्पादन करने के लिए, पिस्टन के सिर को बहुत कसकर सील किया जाना चाहिए, ताकि भाप को केवल भागने के बजाय सिर को स्थानांतरित करने के लिए मजबूर किया जा सके। और उस पिस्टन सिर को जितना संभव हो उतना तंग रखने के लिए, उस पिस्टन रॉड को कैसे चलना चाहिए? ठीक पिस्टन की धुरी के साथ एक सीधी रेखा में। दूसरी ओर, कोई उस पीछे और आगे की गति को लेना चाहता था और इसके साथ एक धुरा मोड़ता था। इसलिए रैखिक गति को रोटरी गति में बदलने के लिए एक मौलिक व्यावहारिक आवश्यकता थी। यहां यह विचार है कि वाट के साथ आया था, जिसे उन्होंने "यांत्रिकी के सबसे सरल सरल टुकड़ों में से एक के रूप में वर्णित किया है।" - और संभवत: इसके लायक है, चूंकि वाट से पहले, रैखिक से रोटरी गति में रूपांतरण केवल किया जा सकता है। एक श्रृंखला के साथ। चूंकि एक श्रृंखला को केवल खींचा जा सकता है, धक्का नहीं दिया जा सकता है, इसलिए उस सीमा का मतलब था कि हर स्ट्रोक की एक दिशा ने उसकी शक्ति को बर्बाद कर दिया।

वाट की लिंकेज सामग्री: कोई अन्य छेद वाला कोई 34-बार (ए), दो 24-बार (बी और डी), और 17 पर एक छेद के साथ एक 34-बार; चार लिंकर्स, और एक पेन।

दिशा: लिंक A से B से C0; C34 को D से लिंक करें और C को D के पार करें क्योंकि आप D को A से जोड़ते हैं। C17 में पेन डालें।

उपयोग करने के लिए: एंकर ए, और बी और / या डी को बारी बारी से पेन के साथ एक आकृति-आठ दिखने वाले वक्र को आकर्षित करने के लिए। प्रत्येक संयुक्त को इस तरह से फ्लिप करना सुनिश्चित करें जैसे कि ए और सी एक-दूसरे को पार करने की ओर, हर बार जब आप एक मृत बिंदु तक पहुंचते हैं।

यहाँ बनाया गया है और ड्राइंग के माध्यम से संपर्क मार्ग:

और यहाँ पूर्ण वक्र है:

वास्तव में, इस सुशोभित वक्र को गणितज्ञ जैकब बर्नौली ने लगभग सौ साल पहले ही खोज लिया था, जिन्होंने इसे "लेम्निस्केट" करार दिया था। उन्होंने इसे एक दीर्घवृत्त पर एक प्रकार की भिन्नता के रूप में देखा, जिसमें दो निश्चित बिंदुओं से एक बिंदु की दूरियों का गुणनफल उनके योग के बजाय स्थिर रहता है। उस उत्पाद की संपत्ति के कारण, चार-बार लिंकेज के लिए यह रास्ता एक चौथे-डिग्री बहुपद द्वारा वर्णित है, जो सामान्य छठी डिग्री की तुलना में बहुत सरल है। दिलचस्प बात यह है कि बाद में यूलर द्वारा बर्नौली के नींबू के अध्ययन से आधुनिक गणित के महत्वपूर्ण क्षेत्रों में विकास हुआ।

लेकिन वाट की समस्या के साथ यह सुरुचिपूर्ण वक्र क्या है? कुंजी केंद्र के पास वक्र के एक स्ट्रोक में निहित है, जहां यह तय पट्टी को पार करता है। उस खंड के माध्यम से नींबू पानी बहुत सीधा है। वाट ने इस खंड की लंबाई-से-चौड़ाई अनुपात को समायोजित किया ताकि उस खंड की लंबाई बढ़े ताकि पिस्टन का पूरा बैक-एंड मोशन लगभग-सीधे क्षेत्र के भीतर हो, और उस क्षेत्र को बाहर निकालने के लिए इसे संशोधित किया निश्चित पट्टी का रास्ता, और इस प्रकार पहला स्टीम इंजन बनाने में सक्षम था जिसने इसके अपस्ट्रो और इसके डाउनट्रोक दोनों पर शक्ति प्रदान की।

हालांकि, उत्पाद की संपत्ति के कारण भी, लेमनीकेट का कोई भी खंड ठीक सीधे नहीं है, बस बहुत करीब है। क्या चार-बार लिंकेज है जो ठीक सीधी गति पैदा करता है? या फिर कोई लिंकेज? यह कई वर्षों तक चलने वाले एक महत्वपूर्ण गणितीय रहस्य में बदल गया, जिसे हम आने वाली किश्तों में जाँचेंगे। इस बीच, अपना हाथ आज़माएं: क्या आप MoMath लिंकेज किट से एक लिंकेज बना सकते हैं जो पूरी तरह से सीधी रेखा खींचता है? (केवल अगर आप अन्वेषण की खुशी से खुद को वंचित करना चाहते हैं तो क्या आपको यह पता लगाने के लिए वेब खोजना चाहिए कि क्या यह संभव है ...)

अधिक:

  • लिंकेज, परिचय
  • लिंकेज, पार्ट 2: फोर बार्स, वन फ्रीडम
  • लिंकेज, भाग 3: चार बार, दो या तीन पद
  • लिंकेज, भाग 4: चार बार्स, चार पद
  • लिंकेज, भाग 5: चार बार, अधिक स्थिति?
  • लिंकेज, भाग 6: बायोमिमिक्री
  • लिंकेज, भाग 7: द वर्ल्ड "B.X."
  • हमारे सभी मठ सोमवार कॉलम देखें

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